Padding é o respiro que existe dentro de um elemento, ou seja, a distância entre o conteúdo e a beirada dele. Pense no espaço entre o texto de um botão e a borda do botão, ou entre o conteúdo de um card e a borda do card. O ponto é que ele mede o espaço interno, e não o espaço entre um elemento e outro.
Apesar de parecer um detalhe, o padding decide muita coisa de uma vez só, porque influencia o tamanho percebido do elemento, o peso visual dele, a legibilidade e até a área de toque. Quando o conteúdo fica colado na borda, tudo parece apertado e cansa o olho antes mesmo de a pessoa entender o porquê, enquanto um padding generoso ajuda a dar importância àquele elemento.
No terreno da acessibilidade, o padding tem um papel especial, porque é ele que estica a área tocável sem precisar mudar o tamanho do ícone. Um ícone de 16px, por exemplo, consegue atingir os 44 por 44 pontos recomendados pra um toque confortável só com padding suficiente em volta.